معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و نوسان‌گر هماهنگ ساده

خلاصه تدریس استاد در این جلسه

«در این جلسه به سراغ معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه‌ی دوم رفتیم که در بسیاری از مسائل مهندسی و فیزیک ظاهر می‌شوند، به‌خصوص در مدل‌سازی حرکت نوسانی. مباحث اصلی جلسه: تعریف معادله‌ی دیفرانسیل خطی مرتبه‌ی دوم با ضرایب ثابت: a y ′ ′ + b y ′ + c y = 0 ay ′′ +by ′ +cy=0 معرفی مفهوم معادله مشخصه: با فرض y = e r x y=e rx ، به رابطه‌ی a r 2 + b r + c = 0 ar 2 +br+c=0 می‌رسیم و ریشه‌های این معادله (حقیقی متمایز، حقیقی مساوی، یا مختلط) نوع جواب را تعیین می‌کنند. مثال: معادله‌ی نوسان‌گر هماهنگ ساده بدون میرایی: y ′ ′ + ω 2 y = 0 y ′′ +ω 2 y=0 که جواب عمومی آن به صورت y ( x ) = C 1 cos ⁡ ( ω x ) + C 2 sin ⁡ ( ω x ) y(x)=C 1 ​ cos(ωx)+C 2 ​ sin(ωx) است و نشان می‌دهد حرکت به صورت نوسان دوره‌ای انجام می‌شود. تفسیر فیزیکی ضرایب a , b , c a,b,c در سیستم‌های مکانیکی (جرم–فنر–میرایی) و اینکه چرا ضریب b b مربوط به نیروی اصطکاک/دمپینگ است. تمرین‌های پیشنهادی برای دانشجوها: حل معادله‌ی y ′ ′ − 4 y = 0 y ′′ −4y=0 و بررسی شکل نمودار جواب. بررسی اثر اضافه شدن جمله‌ی میرایی: y ′ ′ + 2 y ′ + y = 0 y ′′ +2y ′ +y=0 و مقایسه‌ی رفتار پاسخ با حالت بدون میرایی. توضیح دهید که در چه شرایطی حرکت نوسان‌گر «نوسان‌دار» و در چه شرایطی «میرا» می‌شود.»