آشنایی با معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

خلاصه تدریس استاد در این جلسه

«در این جلسه وارد دنیای معادلات دیفرانسیل شدیم. ابتدا توضیح دادیم که معادله‌ی دیفرانسیل چیست: معادله‌ای که در آن متغیر مجهول یک تابع است و مشتقات آن تابع در معادله ظاهر می‌شود. تمرکز اصلی ما روی معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه‌ی اول بود. مباحث اصلی جلسه: تعریف معادله‌ی دیفرانسیل مرتبه‌ی اول از نوع جداسازی متغیرها (Separable ODE): d y d x = g ( x ) h ( y ) dx dy ​ =g(x)h(y) که می‌توان آن را به صورت 1 h ( y ) d y = g ( x ) d x h(y) 1 ​ dy=g(x)dx نوشت و سپس با انتگرال‌گیری دو طرف، جواب کلی را به‌دست آورد. حل چند مثال مهم: معادله‌ی d y d x = k y dx dy ​ =ky و به‌دست‌آوردن جواب y = C e k x y=Ce kx مدل رشد جمعیت (رشد نمایی و لجستیک) و تفسیر پارامترها. معرفی شرط اولیه (Initial Condition) و نحوه‌ی به‌دست‌آوردن جواب خاص، مثلاً: اگر بدانیم y ( 0 ) = 5 y(0)=5 و معادله d y d x = 2 y dx dy ​ =2y است، چطور C C را پیدا کنیم. در انتهای جلسه، چند تمرین پیشنهاد شد: حل معادله‌ی d y d x = 3 x 2 dx dy ​ =3x 2 با شرط اولیه y ( 0 ) = 1 y(0)=1. تحلیل مفهومی این‌که اگر نرخ تغییر جمعیت متناسب با خود جمعیت باشد، نمودار جمعیت در طول زمان چه شکلی خواهد داشت.»