مشتق و کاربردهای اولیه در شیب و نرخ تغییرات

خلاصه تدریس استاد در این جلسه

«در جلسه‌ی دوم وارد مبحث مهم مشتق شدیم. ابتدا تعریف شهودی مشتق را به‌عنوان «نرخ تغییر آنی» یا «شیب خط مماس بر منحنی در یک نقطه» توضیح دادیم. محورهای اصلی جلسه: تعریف مشتق تابع f ( x ) f(x) در نقطه‌ی x 0 x 0 ​ به‌صورت حد: f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h f ′ (x 0 ​ )= h→0 lim ​ h f(x 0 ​ +h)−f(x 0 ​ ) ​ قوانین مشتق‌گیری برای توابع پایه: مشتق x n x n برابر n x n − 1 nx n−1 مشتق توابع نمایی و لگاریتمی (مثل e x e x ، ln ⁡ x lnx) قواعد جمع، تفریق، ضرب و تقسیم توابع در مشتق‌گیری تفسیر هندسی مشتق: شیب خط مماس و ارتباط آن با سرعت لحظه‌ای در فیزیک (مثلاً حرکت یک جسم روی محور x). مثال‌ها: محاسبه‌ی مشتق f ( x ) = x 2 + 3 x − 5 f(x)=x 2 +3x−5 پیدا کردن شیب نمودار در نقطه‌ی خاص و تفسیر فیزیکی آن. در بخش پایانی، چند تمرین حل کردیم: پیدا کردن نقاطی که در آن‌ها مشتق صفر است (نقاط بیشینه و کمینه‌ی موضعی) تحلیل تغییرات تابع و رسم تقریبی نمودار با استفاده از علامت مشتق اول. تمرین برای خانه: مشتق چند تابع چندجمله‌ای دیگر را حساب کنید. برای یک تابع مثل f ( x ) = x 3 − 3 x f(x)=x 3 −3x، نقاط ماکسیمم و مینیمم را پیدا کنید و شکل تقریبی آن را رسم کنید.»